课 题：抛物线及其标准方程（1） （人教版高二数学（上）（实验修订本。必修）§8.5第一课时） 解析几何是通过建立直角坐标系用代数方法解决几何问题的学科，具体的作法是建立坐标系，平面上的点与一个有序实数一一对应的关系，从而体现了形与数的统一与转化，这部分内容有极丰富的辩证关系，是对学生进行思想教育的好机会。它主要研究两个问题：（1）已知曲线求方程；（2）已知方程画曲线。而椭圆、双曲线、抛物线这些很重要以常见的圆锥曲线，高中解析几何主要研究它们的性质与应用，是学生掌握解析几何的关键，是领会解析法构思的途径。教学内容及重点、难点分析：1、本节课在圆锥曲线中的地位：圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分。三部分在圆锥曲线中的地位相同。本章对抛物线的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是完全可以接受的。本课是高二数学§8.5的第一课时，它是学习抛物线的性质及其应用的基础。一定要引起学生足够的重视。2、本节课的主要教学内容：ⅰ、通过实验，结合几何画板课件，观察、发现和认识抛物线。师生利用课件结合教具共同作与一个定点的距离等于它到定直线的距离的动点的轨迹（图形）——抛物线，培养探索精神，教给学生一个发现数学奥秘的方法——做实验。ⅱ、坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点。通过几何画板动态演示建立不同的坐标系，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐标系的重要性。ⅲ、由抛物线的标准方程，熟练写出焦点坐标、准线方程；反之也会。ⅳ、抛物线开口方向有左、右、上、下四种情况。可以放手让学生类似地推导开口向左、向上、向下的情况下的标准方程。让学生根据课件展示的图形写出焦点坐标、准线方程。并制成表格对比异同。ⅴ、p的几何意义：抛物线焦点到准线的距离，故此，p>0。在抛物线 ， 中，负号只管抛物线的开口方向，与p无关。ⅵ、抛物线的定义是由“与一定点和定直线等距离的动点的轨迹”得出来的。由于学生对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化有一定困难，教学中应根据图形培养学生运用三种语言的能力。借助图形是原本较为陌生的定义变得容易理解和便于记忆。据以上教学内容及要求，拟定教学重点及教学难点如下：教学目标： 1.知识方面：了解抛物线的定义，掌握抛物线的四种形式的标准方程。2.技能方面：领会求抛物线标准方程的步骤，特别是领会建立适当的坐标系的思路。3.思想方面：初步培养理解事物按一定准则、变化、制约的客观规律。4.能力方面：培养观察、抽象比较、归纳等能力。教学重点：1、 掌握抛物线的定义及标准方程；2、 进一步熟悉坐标法；能据已知条件用坐标法求抛物线的方程；3、 会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程，并画出其图形；4、 会根据抛物线的焦点坐标或者准线方程，求出抛物线的标准方程。教学难点：1、用坐标法求出抛物线的标准方程；2、引导学生正确进行数学图形语言、文字语言、符号语言及其相互转化；教学对象分析以及教材组织：学学生的基础普遍较低，数学基础差，抽象、逻辑推理能力差，厌学情绪浓等特点，我把本节内容：抛物线的定义及其标准方程和几何性质分三个课时。借助powerpoint、几何画板课件，从形象、动态的演示入手，使学生对抛物线有一个较为深刻的认识。学习方法以协作、讨论为主。教学方法：以多媒体教学课件为依托，采用实验探索、类比法、图表法。实验探索：通过实验、演示，观察得出动点的轨迹是一条抛物线，在用坐标法探求方程。类比法：由椭圆、双曲线的定义、标准方程、性质的求法，类比出抛物线的定义、标准方程、性质。类比法使得学生对于教材容易接受，可减轻学生负担。图表法：将抛物线定义、图像、标准方程、焦点坐标、准线方程列表，让学生填充表格，通过表格可以将它们对比，发现异同点，寻找规律，全面掌握所学知识。多媒体课件的介入可以增强课堂的趣味性，能够在动态演示中化解教学难点，有效的解决教学重点。网络教学环境设计：课程已放在网上，见http： ，（作者自己的站点）。学生可以在网上自学，并且可以依托网络留言、论坛体系交流学习收获，并及时向教师反馈学习效果及学习中的问题，通过网络交互，教师可以及时弥补课堂教学中的不足，并且可以针对学生的个体差异进行指导。利于增强学生的学习信心。必须依托校园网，internet网络，要求学生有方便的上网条件。课程教学要在多媒体教室完成。本课程课件主体用powerpoint97制作，其中链接有几何画板课件，在美观、动静结合中完成教学任务，可以达到较高的教学效果、学习效果。课件执行要求：所用机器必须安装有《几何画板4.0》、powerpoint97，internet explorer5.0等软件。并且可以上网。教学过程设计1、复习提问：⑴ “五步法”求曲线的轨迹方程？⑵ 填空：与一个定点的距离和一条定直线的距离之比等于常数 的动点的轨迹，当0< <1时是 ；当 >1时是 ；当 ＝1时它又是什么曲线呢？（几何画板演示）说明：以问题为出发点，创设情境，探索性问题可以提高学生的求知欲，要鼓励学生积极参与，积极思考，发挥学生的学习主体作用。2、新课教学部分：⑴ 实验、演示，观察猜想。几何画板课件演示：学生观察 ① 两条线段长度的变化；② 观察追踪动点m得到的轨迹形状。探索出当 ＝1时动点m的轨迹为抛物线，进而给出抛物线的定义。⑵ 求抛物线的标准方程。对于已经在几何画板中画出的抛物线，建立适当的直角坐标系。设抛物线上任意一点m的坐标为（x，y），定点f到定直线 的距离为p，由已知动点m（x，y）到定点f的距离|mf|与动点m（x，y）到直线 的距离d之比为1，转化出关于x、y的等式，化简即得到抛物线的标准方程。在几何画板中预置学生可能出现的几种建系的方法（祥见几何画板课件）；让学生探求每种建系条件下得到的标准方程。强调：① p的几何意义；② 已知抛物线的标准方程 （p>0），迅速写出它的焦点坐标、准线方程；③ 已知抛物线的焦点f（ ，0）或准线方程 （p>0），迅速写出其标准方程。⑶ 讨论四种位置上的抛物线标准方程。几何画板给出四种位置下的抛物线图形及所建的坐标系：① 学生分组分别求解抛物线的四种位置上的标准方程；② 师生协作，填充抛物线分类讨论表格；③ 观察、归纳，寻找异同。相同点不同点1.顶点为原点；2.对称轴为坐标轴；3.顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为 。1. 一次项变量为x（y），则对称轴为x（y）轴；2. 焦点在x（y）轴的正半轴上，开口向右（向上），焦点在x（y）轴的负半轴上，开口向左（向下），⑷ 例题：课本例1几何画板演示抛物线图形。（例1（1）、例1（2））3、变式训练：⑴ 焦点f为（3，0）的抛物线的标准方程是：（ ）a b c d ⑵ 顶点在原点，准线方程为y＝2的抛物线的标准方程是：（ ）a b c d 据下列条件，写出抛物线的标准方程：1、焦点f（4，0）； 2、焦点f（0，－4）；3、准线方程为 ； 4、准线方程为 ；5、焦点到准线的距离为 ；6、焦点在直线 上。⑷ 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：① ② ③ ④ （a < 0）4、 课堂小结：⑴ 本课学习的主要内容：抛物线的定义、焦点、准线、标准方程等基本知识及其相互联系；⑵ 理解p的几何意义，即焦点到准线的距离，p>0；⑶ 掌握用坐标法求曲线方程的方法，要注意选好坐标系的恰当位置。作业设计：1、根据下列条件写出抛物线的标准方程：⑴ 焦点f（3，0）；⑵ 准线方程 ；⑶ 焦点到准线的距离是2；⑷ 焦点在直线y＝2x+1上。2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：⑴ ； ⑵ ；⑶ ； ⑷ ；⑸ ； ⑹ 。溧阳市埭头中学 郭兵利 2002.12
